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16.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a、b、c,已知b=2,且cos2B+cosB+cos(A-C)=1,當(dāng)a+2c取得最小值時,最大邊所對角的余弦值是-24

分析 使用二倍角公式和兩角和的余弦函數(shù)公式化簡,借助于正弦定理得出a,b,c成等比數(shù)列,利用基本不等式得出a+2c取得最小值時的條件,代入余弦定理即可求出.

解答 解:在△ABC中,∵cos2B+cosB+cos(A-C)=1,
∴cosB+cos(A-C)=1-cos2B,
∵cosB=-cos(A+C),cos2B=1-2sin2B,
∴cos(A-C)-cos(A+C)=2sin2B,
∴-2sinAsin(-C)=2sin2B,即sinAsinC=sin2B,
∴ac=b2=4.即c=4a
∴a+2c=a+8a≥28=42,當(dāng)且僅當(dāng)a=8a即a=22時取等號.
∴當(dāng)a+2c取得最小值時,a=22,c=2
∴最大邊對的角為A,
由余弦定理得cosA=2+c2a22bc=4+2842=-24
故答案為:-24

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換,正弦定理,余弦定理,屬于中檔題.

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