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20.已知圓C的圓心在直線x-2y=0上.
(1)若圓C與y軸的正半軸相切,且該圓截x軸所得弦的長(zhǎng)為23,求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)在(1)的條件下,直線l:y=-2x+b與圓C交于兩點(diǎn)A,B,若以AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,求實(shí)數(shù)b的值.

分析 (1)設(shè)圓心為(2a,a),通過(guò)圓C與y軸的正半軸相切,得到半徑r=2a.利用該圓截x軸所得弦的長(zhǎng)為23,列出方程求解即可.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),利用韋達(dá)定理以及判別式,結(jié)合直線的斜率關(guān)系,即可求出b的值.

解答 解:(1)因?yàn)閳AC的圓心在直線x-2y=0上,所以可設(shè)圓心為(2a,a).
因?yàn)閳AC與y軸的正半軸相切,所以a>0,半徑r=2a.
又因?yàn)樵搱A截x軸所得弦的長(zhǎng)為23,
所以a2+(32=(2a)2,解得a=1.…(2分)
因此,圓心為(2,1),半徑r=2.
所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-1)2=4.…(4分)
(2)由直線l:y=-2x+b與圓C,消去y,得(x-2)2+(-2x+b-1)2=4.
整理得5x2-4bx+(b-1)2=0.(★)…(5分)
由△=(-4b)2-4×5(b-1)2>0,得b2-10b+5<0(※)…(6分)
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=4b5,x1x2=b125    (7分)
因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O,可知x1x2+y1y2=0,即x1x2+(-2x1+b)(-2x2+b)=0.
化簡(jiǎn)得5x1x2-2b(x1+x2)+b2=0,即(b-1)2-2b•4b5+b2=0.
整理得2b2-10b+5=0.解得b=5±152.…(9分)
當(dāng)b=5±152時(shí),2b2-10b+5=0,b2-10b+5=-b2.③
由③,得b≠0 從而b2-10b+5=-b2<0
可見(jiàn),b=5±152時(shí)滿足不等式(※).b=5±152均符合要求.…(10分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程的綜合應(yīng)用,圓的方程的求法,直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,考查計(jì)算能力.

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