已知函數(shù)f(x)是在(0,+∞)上每一點(diǎn)處均可導(dǎo)的函數(shù),若xf′(x)＞f(x)在x＞0時(shí)恒成立.?

(1)求證:函數(shù)g(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù);

(2)求證:當(dāng)x1＞0,x2＞0時(shí),有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);

(3)已知不等式ln(1+x)＜x在x＞-1且x≠0時(shí)恒成立,求證:ln22+ln32+ln42+…+)2ln(n+1)2＞(n∈N*).

證明:(1)由g(x)=,對g(x)求導(dǎo)數(shù)知g′(x)= .          ?

由xf′(x)＞f(x)可知:g′(x)＞0在x＞0時(shí)恒成立.??

從而g(x)= 在x＞0時(shí)是單調(diào)遞增函數(shù).                                                           ?

(2)由(1)知g(x)= 在x＞0時(shí)是增函數(shù).?

在x1＞0,x2＞0時(shí),＞,＞ .                                       ?

于是f(x1)＜f(x1+x2),f(x2)＜f(x1+x2).??

兩式相加得到f(x1)+f(x2)＜f(x1+x2).                                                                          ?

(3)由(2)可知g(x)=在x＞0上單調(diào)遞增時(shí),有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)(x1＞0,x2＞0)恒成立.

由數(shù)學(xué)歸納法可知xi＞0(i=1,2,3,…,n)時(shí),?

有f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+f(xn)＜f(x1+x2+x3+…+xn)(n≥2)恒成立.?

設(shè)f(x)=xlnx,則在xi＞0(i=1,2,3,…,n)時(shí),?

有x1lnx1+x2lnx2+…+xnlnxn＜(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+x3+…+xn)(n≥2)                      ①?

恒成立.                                                                                                                   ?

令xn=,記Sn=x1+x2+…+xn=++…+.?

由Sn＜++…+=1-.?

Sn＞++…+=-.?

(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+x3+…+xn)＜(x1+x2+…+xn)ln(1-)＜-(x1+x2+…+xn)

（∵ln(1+x)＜x)＜-( -)=-.                                        ②

則②代入①中,可知ln+ln+…+ln＜-.?

于是ln22+ln32+…+ln(n+1)2＞.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)是在(0,+∞)上每一點(diǎn)處均可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時(shí)恒成立.

(Ⅰ)求證：函數(shù)g(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù)；

(Ⅱ)求證：當(dāng)x1＞0,x2＞0時(shí)，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)；

(Ⅲ)已知不等式ln(1+x)＜x在x＞-1且x≠0時(shí)恒成立，求證：ln22+ln32+ln42+…+ln(n+1)2＞(n∈N*).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)是在(0,+∞)上每一點(diǎn)處均可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時(shí)恒成立.

(Ⅰ)求證：函數(shù)g(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù)；

(Ⅱ)求證：當(dāng)x1＞0,x2＞0時(shí)，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);

(Ⅲ)求證：ln22+ln32+ln42+…+ln(n+1)2＞(n∈N*).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)是在（0，+∞）上每一點(diǎn)處均可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時(shí)恒成立.

（Ⅰ）求證：函數(shù)g(x)=在（0，+∞）上是增函數(shù)；

（Ⅱ）求證：當(dāng)x1＞0,x2＞0時(shí)，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);

（Ⅲ）已知不等式ln（1+x)＜x在x＞-1且x≠0時(shí)恒成立，求證：ln22+ln32+ln42+…+ln(n+1)2＞(n∈N*).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)是在(0，+∞)上處處可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時(shí)恒成立．

(1)求證：函數(shù)g(x)=在(0，+∞)上單調(diào)遞增；

(2)求證：當(dāng)x1＞0，x2＞0時(shí)，f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)．

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