Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ax2－(a2＋b)x＋aln x(a，b∈R)．

(Ⅰ)當(dāng)b＝1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)當(dāng)a＝－1，b＝0時(shí)，證明：f(x)＋ex>－x2－x＋1(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)見解析.

【解析】試題分析: （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（Ⅱ）法一：問題轉(zhuǎn)化為證明ex﹣lnx﹣1＞0，設(shè)g（x）=ex﹣lnx﹣1（x＞0），問題轉(zhuǎn)化為證明x＞0，g（x）＞0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可；

法二：問題轉(zhuǎn)化為證明x﹣1≥lnx（x＞0），令h（x）=x﹣1﹣lnx（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

試題解析：

(Ⅰ)當(dāng)b＝1時(shí)，f(x)＝ax2－(1＋a2)x＋aln x，

f′(x)＝ax－(1＋a2)＋＝.

討論：1°當(dāng)a≤0時(shí)，x－a>0， >0，ax－1<0f′(x)<0，

此時(shí)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，＋∞)，無單調(diào)遞增區(qū)間.

2°當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)＝0x＝或a，

①當(dāng)＝a(a>0)，即a＝1時(shí)， 此時(shí)f′(x)＝≥0(x>0)，

此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間；

②當(dāng)0<<a ，即a>1時(shí)，此時(shí)在和(a，＋∞)上函數(shù)f′(x)>0，

在上函數(shù)f′(x)<0，此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為和(a，＋∞)；

單調(diào)遞減區(qū)間為；

③當(dāng)0<a<，即0<a<1時(shí)，此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0，a)和；

單調(diào)遞減區(qū)間為

(Ⅱ)證明：(法一)當(dāng)a＝－1，b＝0時(shí)，f(x)＋ex>－x2－x＋1，

只需證明：ex－ln x－1>0，設(shè)g(x)＝ex－ln x－1(x>0)，

問題轉(zhuǎn)化為證明x>0，g(x)>0.

令g′(x)＝ex－， g″(x)＝ex＋>0，

∴g′(x)＝ex－為(0，＋∞)上的增函數(shù)，且g′＝－2<0，g′(1)＝e－1>0，

∴存在惟一的x0∈，使得g′(x0)＝0，ex0＝，

∴g(x)在(0，x0)上遞減，在(x0，＋∞)上遞增.

∴g(x)min＝g(x0)＝ex0－ln x0－1＝＋x0－1≥2－1＝1，

∴g(x)min>0∴不等式得證.

(法二)先證：x－1≥ln x(x>0)

令h(x)＝x－1－ln x(x>0)，∴h′(x)＝1－＝＝0x＝1，

∴h(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增.

∴h(x)min＝h(1)＝0，∴h(x)≥h(1)x－1≥ln x．

∴1＋ln x≤1＋x－1＝xln(1＋x)≤x，

∴eln(1＋x)≤ex，1

∴ex≥x＋1>x≥1＋ln x，∴ex>1＋ln x，

故ex－ln x－1>0，證畢.