Question

函數(shù)f（x）=Acos²（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的最大值為3，它的圖象相鄰的兩個(gè)對(duì)稱軸之間的距離為2，圖象在y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2），
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)數(shù)列a_n=f（n）（n∈N^*），S_n是它的前n項(xiàng)和，求S₁₀₀．

Answer 1

分析：（1）先將原函數(shù)用降冪公式轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，由相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2可知周期求得ω，由最大值為3，求得A，又由圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2），求得φ，進(jìn)而得f（x）解析式．
（2）求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，判斷數(shù)列是周期數(shù)列，求出一個(gè)周期的和．然后求解S₁₀₀．

解答：解：（1）將原函數(shù)f（x）=Acos²（ωx+φ）+1轉(zhuǎn)化為：f（x）=

A

2

cos（2ωx+2φ）+

A

2

+1
相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2可知函數(shù)的周期為：4，則2ω=

2π

4

=

π

2

，ω=

π

4

由最大值為3，可知A=2
又∵圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2），
∴cos2φ=0
∴2φ=kπ+

π

2

，0＜φ＜

π

2

，φ=

π

4

，
∴f（x）=cos（

π

2

x+

π

2

）+2=-sin

π

2

x+2．
（2）∵f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，f（4）=2，f（5）=1…所以數(shù)列{a_n}是周期數(shù)列，T=4，
f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=8，
S₁₀₀=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=8×25=200．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了降冪公式和三角函數(shù)中各參數(shù)的意義，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，數(shù)列的求和，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．