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19.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx-\frac{π}{3}),(ω>0)的最小正周期為π.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間;
(2)若h(x)=f(x)-b,在x∈[0,\frac{π}{2}]上含有2個零點,求b的取值范圍.

分析 (1)利用正弦函數(shù)的周期性求得ω的值,可得函數(shù)的解析式,再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性,求得函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間.
(2)由題意可得f(x)的圖象和直線y=b在x∈[0,\frac{π}{2}]上有2個交點,再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域,求得b的范圍.

解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)=2sin(ωx-\frac{π}{3})(ω>0)的最小正周期為\frac{2π}{ω}=π,
∴ω=2,令2kπ+\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{3π}{2},求得kπ+\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{11π}{12},
可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+\frac{5π}{12},kπ+\frac{11π}{12}],k∈Z.
(2)若h(x)=f(x)-b,在x∈[0,\frac{π}{2}]上含有2個零點,
則f(x)的圖象和直線y=b在x∈[0,\frac{π}{2}]上有2個交點.
在x∈[0,\frac{π}{2}]上,∵2x-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{3},\frac{2π}{3}],∴2sin(ωx-\frac{π}{3})∈[-\sqrt{3},2].
又2sin(\frac{π}{3})=2sin\frac{2π}{3}=\sqrt{3},當(dāng)2x-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{3},\frac{π}{2}]上時,f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)2x-\frac{π}{3}∈[\frac{π}{2},\frac{2π}{3}]上時,f(x)單調(diào)遞減,2sin\frac{π}{2}=2,可得b∈[\sqrt{3},2).

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性,正弦函數(shù)的圖象,屬于中檔題.

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