Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足a_n=

Sn

n(2n-1)

，且a₁=

1

3

．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）利用已知條件通過n=2，3，4，直接計(jì)算a₂，a₃，a₄的值，
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的計(jì)算結(jié)果，猜想的通{a_n}項(xiàng)公式，用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟直接證明即可．

解答： 解：（Ⅰ）a₂=

1

3×5

；a₃=

1

5×7

；a₄=

1

7×9

…（3分）
（Ⅱ）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=

1

(2n-1)(2n+1)

…（6分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=

1

3

，猜想成立．…（7分）
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，a_k=

1

(2k-1)(2k+1)

成立，…（8分）
則當(dāng)n=k+1時(shí)，由a_k+1=

Sk+1

(k+1)(2k+1)

，得S_k+1=（k+1）（2k+1）a_k+1，
由a_k=

Sk

k(2k-1)

，得S_k=k（2k-1）a_k，…（10分）
兩式作差得：S_k+1-S_k=（k+1）（2k+1）a_k+1-k（2k-1）a_k，
即a_k+1=

1

(2k+1)(2k+3)

，所以猜想成立．…（13分）
綜上所述，對(duì)一切正的自然數(shù)都有a_n=

1

(2n-1)(2n+1)

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推關(guān)系式以及通項(xiàng)公式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的證明方法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力與邏輯推理能力．