Question

10．已知圓M：（x-m）²+y²=1的切線l，當l的方程為y=1時，直線l與橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）相切，且橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）當m＜0時，設(shè)S表示三角形的面積，若M的切線l：y=kx+$\sqrt{2}$與橢圓C交于不同的兩點P，Q，當tan∠POQ=3S_△POQ時，點A在拋物線y²=2$\sqrt{2}$x上，點B在圓M上，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）當l的方程為y=1時，直線l與橢圓相切，得到b=1，再由橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得a=$\sqrt{2}$，由此能求出橢圓的標準方程．
（2）由直線l與橢圓相切，得（km+$\sqrt{2}$）²=1+k²，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+\sqrt{2}}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4$\sqrt{2}kx+2=0$，由此利用根的判別式、韋達定理、向量的數(shù)量積、橢圓弦長公式，結(jié)合已知條件能求出拋物線${y}^{2}=-2\sqrt{2}x$與圓M上任意兩點間最短距離．

解答 解：（1）∵圓M：（x-m）²+y²=1的切線l，當l的方程為y=1時，直線l與橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）相切，
∴b=1，
∵橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴e=$\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得a=$\sqrt{2}$，
∴橢圓的標準方程為$\frac{{{x}^{2}}_{\;}}{2}$+y²=1．
（2）由直線l與橢圓相切，得$\frac{|km+\sqrt{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
∴（km+$\sqrt{2}$）²=1+k²，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+\sqrt{2}}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4$\sqrt{2}kx+2=0$，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則$△=（4\sqrt{2}k）^{2}-8（1+2{k}^{2}）＞0$，解得${k}^{2}＞\frac{1}{2}$，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，
∴${y}_{1}{y}_{2}=（k{x}_{1}+\sqrt{2}）（k{x}_{2}+\sqrt{2}）$=${k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+\sqrt{2}k（{x}_{1}+{x}_{2}）+2$=$\frac{2-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∵tan∠POQ=3S_△POQ，∴tan$∠POQ=3×\frac{1}{2}|\overrightarrow{OP}|•|\overrightarrow{OQ}|$sin∠POQ，
∴$|\overrightarrow{OP}|•|\overrightarrow{OQ}|$cos∠POQ=$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}$=$\frac{4-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，∴${k}^{2}=1＞\frac{1}{2}$，
∴（km+$\sqrt{2}$）²=2，∴m=0（舍），或m=2$\sqrt{2}$（舍）或m=-2$\sqrt{2}$，
∴圓M：（x+2$\sqrt{2}$）²+y²=1．
設(shè)拋物線${y}^{2}=-2\sqrt{2}x$上一點P（x，y），
則|PM|=$\sqrt{（x+2\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x+2\sqrt{2}）^{2}-2\sqrt{2}x}$=$\sqrt{（x+\sqrt{2}）^{2}+6}$，
當x=-$\sqrt{2}$時，|PM|有最小值$\sqrt{6}$》1，
∴拋物線y²=2$\sqrt{2}x$，|PM|有最小值$\sqrt{6}＞1$，
∴拋物線${y}^{2}=-2\sqrt{2}x$與圓M上任意兩點間最短距離即|AB|的最小值為$\sqrt{6}-1$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查線段長的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、向量的數(shù)量積、橢圓弦長公式、橢圓、圓、拋物線等知識點的合理運用．