Question

現(xiàn)有兩種投資方案，一年后投資盈虧的情況如下：
（1）投資股市：

投資結(jié)果	獲利40%	不賠不賺	虧損20%
概  率	1 2	1 8	3 8

（2）購買基金：

投資結(jié)果	獲利20%	不賠不賺	虧損10%
概  率	p	1 3	q

（Ⅰ）當(dāng)p=

1

4

時，求q的值；
（Ⅱ）已知甲、乙兩人分別選擇了“投資股市”和“購買基金”進行投資，如果一年后他們中至少有一人獲利的概率大于

4

5

，求p的取值范圍；
（Ⅲ）丙要將家中閑置的10萬元錢進行投資，決定在“投資股市”和“購買基金”這兩種方案中選擇一種，已知p=

1

2

，q=

1

6

，那么丙選擇哪種投資方案，才能使得一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望較大？給出結(jié)果并說明理由．

Answer 1

考點：互斥事件的概率加法公式,相互獨立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）根據(jù)p+

1

3

+q=1解出即可；（Ⅱ）設(shè)出各個事件后得C=A

.

B

∪

.

A

B∪AB，根據(jù)P(C)=

1

2

+

1

2

p＞

4

5

，p+

1

3

+q=1，從而求出P的范圍；
（Ⅲ）分別求出EX，EY在值，通過比較得到結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：因為“購買基金”后，投資結(jié)果只有“獲利”、“不賠不賺”、“虧損”三種，且三種投資結(jié)果相互獨立，
所以p+

1

3

+q=1．…（2分）
又因為p=

1

4

，
所以q=

5

12

．                                          …（3分）
（Ⅱ）解：記事件A為“甲投資股市且盈利”，事件B為“乙購買基金且盈利”，事
件C為“一年后甲、乙兩人中至少有一人投資獲利”，…（4分）
則C=A

.

B

∪

.

A

B∪AB，且A，B獨立．
由上表可知，P(A)=

1

2

，P（B）=p．
所以P(C)=P(A

.

B

)+P(

.

A

B)+P(AB)…（5分）
=

1

2

×(1-p)+

1

2

×p+

1

2

×p=

1

2

+

1

2

p．…（6分）
因為P(C)=

1

2

+

1

2

p＞

4

5

，
所以p＞

3

5

．…（7分）
又因為p+

1

3

+q=1，q≥0，
所以p≤

2

3

．
所以

3

5

＜p≤

2

3

．…（8分）
（Ⅲ）解：假設(shè)丙選擇“投資股票”方案進行投資，且記X為丙投資股票的獲利金額（單位：萬元），
所以隨機變量X的分布列為：

X	4	0	-2
P	1 2	1 8	3 8

…（9分）
則EX=4×

1

2

+0×

1

8

+(-2)×

3

8

=

5

4

．…10 分
假設(shè)丙選擇“購買基金”方案進行投資，且記Y為丙購買基金的獲利金額（單位：萬元），
所以隨機變量Y的分布列為：

Y	2	0	-1
P	1 2	1 3	1 6

…（11分）
則EY=2×

1

2

+0×

1

3

+(-1)×

1

6

=

5

6

．…（12分）
因為EX＞EY，
所以丙選擇“投資股市”，才能使得一年后的投資收益的數(shù)學(xué)期望較大．…（13分）

點評：本題考查了互斥事件的概率問題，考查了期望問題，是一道基礎(chǔ)題．