精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影為BC的中點,D是B1C1的中點.
(Ⅰ)證明:A1D⊥平面A1BC;
(Ⅱ)求直線A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.

【答案】證明:(I)∵AB=AC=2,D是B1C1的中點.

∴A1D⊥B1C1,

∵BC∥B1C1,

∴A1D⊥BC,

∵A1O⊥面ABC,A1D∥AO,

∴A1O⊥AO,A1O⊥BC

∵BC∩AO=O,A1O⊥A1D,A1D⊥BC

∴A1D⊥平面A1BC

解:(II)

建立坐標系如圖

∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4

∴O(0,0,0),B(0, ,0),B1(﹣ , ),A1(0,0,

=(0, ,﹣ ), =(0, ,0), =( ,0, ),

設平面BB1C1C的法向量為 =(x,y,z),

即得出

得出 =( ,0,1),| |=4,| |=

=

∴cos< , >= = ,

可得出直線A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值為


【解析】(I)連接AO,A1D,根據幾何體的性質得出A1O⊥A1D,A1D⊥BC,利用直線平面的垂直定理判斷.(II)利用空間向量的垂直得出平面BB1C1C的法向量 =( ,0,1),|根據與 數量積求解余弦值,即可得出直線A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.
【考點精析】掌握直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角是解答本題的根本,需要知道一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】設函數f(x)=4x3+ ,x∈[0,1],證明:
(Ⅰ)f(x)≥1﹣2x+3x2;
(Ⅱ) <f(x)≤

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知雙曲線E: =1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1、F2 , |F1F2|=6,P是E右支上一點,PF1與y軸交于點A,△PAF2的內切圓在邊AF2上的切點為Q,若|AQ|= ,則E的離心率是(
A.2
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】第96屆(春季)全國糖酒商品交易會于2017年3月23日至25日在四川舉辦.交易會開始前,展館附近一家川菜特色餐廳為了研究參會人數與餐廳所需原材料數量的關系,查閱了最近5次交易會的參會人數x(萬人)與餐廳所用原材料數量t(袋),得到如下數據:

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

參會人數x(萬人)

11

9

8

10

12

原材料t(袋)

28

23

20

25

29

(Ⅰ)請根據所給五組數據,求出t關于x的線性回歸方程
(Ⅱ)已知購買原材料的費用C(元)與數量t(袋)的關系為 投入使用的每袋原材料相應的銷售收入為600元,多余的原材料只能無償返還.若餐廳原材料現恰好用完,據悉本次交易會大約有14萬人參加,根據(Ⅰ)中求出的線性回歸方程,預測餐廳應購買多少袋原材料,才能獲得最大利潤,最大利潤是多少?(注:利潤L=銷售收入﹣原材料費用).
(參考公式: =

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】設a,b是不相等的兩個正數,且blna﹣alnb=a﹣b,給出下列結論:①a+b﹣ab>1;②a+b>2;③ + >2.其中所有正確結論的序號是(
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】若函數 在(0,2)上存在兩個極值點,則a的取值范圍是(
A.(﹣∞,﹣
B.(﹣∞,﹣
C.(﹣∞,﹣ )∪(﹣ ,﹣
D.(﹣e,﹣ )∪(1,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】在直角坐標系xOy中,曲線C的參數方程為 (α為參數)
(1)求曲線C的普通方程;
(2)在以O為極點,x正半軸為極軸的極坐標系中,直線l方程為 ρsin( ﹣θ)+1=0,已知直線l與曲線C相交于A,B兩點,求|AB|.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知函數f(x)=log2(|x+1|+|x﹣2|﹣m).
(1)當m=7時,求函數f(x)的定義域;
(2)若關于x的不等式f(x)≥2的解集是R,求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知定義在R上的函數f(x)滿足條件f(x+4)=﹣f(x),且函數y=f(x+2)是偶函數,當x∈(0,2]時, ,當x∈[﹣2,0)時,f(x)的最小值為3,則a的值等于(
A.e2
B.e
C.2
D.1

查看答案和解析>>

同步練習冊答案