【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若對(duì)任意,都有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)當(dāng)時(shí), 在為增函數(shù), 在為減函數(shù);當(dāng)時(shí), 在為增函數(shù),在為減函數(shù);(2).
【解析】試題分析:(1)先求出函數(shù)導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的判定來(lái)下結(jié)論,因?yàn)榇藭r(shí)導(dǎo)函數(shù)分子帶參數(shù)無(wú)法確定符號(hào),故進(jìn)行討論,通常根據(jù)參數(shù)大于0,等于0,小于0一一討論定號(hào)即可得出單調(diào)性,但要注意定義域的限制;(2)恒成立問(wèn)題通常轉(zhuǎn)化最值問(wèn)題求解,求參數(shù)取值范圍我們一般會(huì)優(yōu)先考慮參數(shù)分離形成新函數(shù)求最值,本題即可在上恒成立, 即在上恒成立。,接下來(lái)分析函數(shù) 在上的最大值即可得出結(jié)論
解析:(1)由題知: ,
當(dāng)m≤0時(shí), >0在x∈(0,+∞)時(shí)恒成立,
∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
當(dāng)m>0時(shí), ,
令f′(x)>0,則 ;令f′(x)<0, 則.
∴f(x)在為增函數(shù),f(x)在為減函數(shù).
(2)法一:由題知: 在上恒成立,
即在上恒成立。
令,所以
令g′(x)>0,則;令g′(x)<0,則.
∴g(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
∴ ,∴.
法二:要使f(x) ≤0恒成立,只需,
(1)當(dāng)m≤0時(shí),f(x)在[1,e]上單調(diào)遞增,所以 ,
即,這與m≤0矛盾,此時(shí)不成立.
(2)當(dāng)m>0時(shí),
① 若即時(shí),f(x)在[1,e]上單調(diào)遞增,
所以,即, 這與矛盾,此時(shí)不成立.
②若1< 即時(shí),f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減 .
所以即,
解得 ,又因?yàn)?/span>,所以 ,
③ 即m 2時(shí),f(x)在 遞減,則,
∴ 又因?yàn)?/span>,所以m 2,綜上 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx。
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)求證:當(dāng)x>0時(shí),f(x)≥l-;
(3)若x-1>alnx對(duì)任意x>1恒成立,求實(shí)數(shù)a的最大值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,,,,且,,,,為上一點(diǎn),.
(1)求證:平面;
(2)求異面直線和所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列關(guān)系式中正確的是( )
A. sin11°<cos10°<sin168° B. sin168°<sin11°<cos10°
C. sin11°<sin168°<cos10° D. sin168°<cos10°<sin11°
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓相交于, 兩點(diǎn), , 分別為線段, 的中點(diǎn),若坐標(biāo)原點(diǎn)在以為直徑的圓上,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,正方形所在的平面與正三角形ABC所在的平面互相垂直, ,且, 是的中點(diǎn).
(1)求證: ∥平面;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,SA=SB=AB=BC=CA=6,且側(cè)面ASB⊥底面ABC,則三棱錐S-ABC外接球的表面積為( )
A. 60π B. 56π C. 52π D. 48π
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,平面四邊形ABCD中AD∥BC,∠BAD為二面角B﹣PA﹣D一個(gè)平面角.
(1)若四邊形ABCD是菱形,求證:BD⊥平面PAC;
(2)若四邊形ABCD是梯形,且平面PAB∩平面PCD=l,問(wèn):直線l能否與平面ABCD平行?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)若整數(shù)滿足關(guān)系式,證明:.
(2)試寫(xiě)出不定方程的一組正整數(shù)解,并對(duì)此解驗(yàn)證.
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