已知函數(shù)f(x)=2sin(
1
2
x+
π
3
)

(1)寫出此函數(shù)f(x)的周期、值域;     
(2)求出f(x)在[0,2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)比較f(
π
7
)與f(
π
5
)的大。
分析:(1)利用三角函數(shù)的周期公式,算出f(x)的周期T=4π.再由正弦函數(shù)的最大值為1、最小值為-1,即可得出函數(shù)f(x)的值域.
(2)由正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的公式,解關于x的不等式,算出f(x)在R上的增區(qū)間為[-
π
2
+2kπ
,
π
2
+2kπ
](k∈Z),再取k=0,將得到的區(qū)間與[0,2π]求交集,可得f(x)在[0,2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間.
(3)由
π
7
π
5
為區(qū)間[0,
π
3
]內(nèi)的數(shù),利用(2)的結(jié)論可得f(
π
7
)與f(
π
5
)的大小關系.
解答:解:(1)∵函數(shù)f(x)=2sin(
1
2
x+
π
3
)
中ω=
1
2
,
∴函數(shù)f(x)的周期T=
1
2
=4π,
又∵sin(
1
2
x+
π
3
)
的最大值為1,最小值為-1,
f(x)=2sin(
1
2
x+
π
3
)
的最大值為2,最小值為-2,可得函數(shù)的值域為[-2,2].
(2)令
1
2
x+
π
3
=z,
∵函數(shù)y=sinz的單調(diào)遞增區(qū)間[-
π
2
+2kπ
,
π
2
+2kπ
](k∈Z),
∴由-
π
2
+2kπ
≤z≤
π
2
+2kπ
,即-
π
2
+2kπ
1
2
x+
π
3
π
2
+2kπ

解之得-
3
+4kπ
≤x≤
π
3
+4kπ
(k∈Z),
設A=[0,2π],B=﹛x|-
3
+4kπ
≤x≤
π
3
+4kπ
,k∈Z﹜
取k=0,得B=[-
3
π
3
],可得A∩B=[0,
π
3
],
∴f(x)在[0,2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是[0,
π
3
].
(3)由(2)的結(jié)論,可知函數(shù)f(x)在[0,
π
3
]上是增函數(shù),
∵0<
π
7
π
5
π
3
,∴f(
π
7
)<f(
π
5
).
點評:本題給出正弦型三角函數(shù),求函數(shù)的周期與值域,并求在[0,2π]上的單調(diào)增區(qū)間.著重考查了三角函數(shù)的周期公式、三角函數(shù)的值域與單調(diào)性及其應用等知識,屬于中檔題.
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2-xx+1
;
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x
,x>0
,則f[f(-2)]=
3
3

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3
2
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3
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2-2cosx
+
2-2cos(
3
-x)
,x∈[0,2π],則當x=
3
3
時,函數(shù)f(x)有最大值,最大值為
2
3
2
3

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