Question

20．雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1的漸近線方程與圓（x-$\sqrt{3}$）²+（y-1）²=1相切，則此雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設出雙曲線的漸近線方程為y=$\frac{a}$x，運用直線和圓相切的條件：d=r，化簡可得b=$\sqrt{3}$a，由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：設雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
由漸近線與圓${（x-\sqrt{3}）^2}+{（y-1）^2}=1$相切，
可得圓心（$\sqrt{3}$，1）到漸近線的距離為1，
即為$\frac{|\sqrt{3}b-a|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=1，
化為b=$\sqrt{3}$a，
可得c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2a，
即有e=$\frac{c}{a}$=2．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用點到直線的距離公式，考查直線和圓相切的條件：d=r，考查運算能力，屬于中檔題．