Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=log₇$\frac{x+3}{x-1}$，g（x）=log₇（x-1）+log₇（5-x），F(xiàn)（x）=f（x）+g（x）
（1）求函數(shù)F（x）的定義域；
（2）若F（a）＞1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于x的不等式組，解出即可；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為${log}_{7}^{（\frac{a+3}{a-1}）（a-1）（5-a）}$＞1，求出a的范圍即可．

解答 解：∵f（x）=log₇$\frac{x+3}{x-1}$，g（x）=log₇（x-1）+log₇（5-x），
∴F（x）=f（x）+g（x）=log₇$\frac{x+3}{x-1}$+log₇（x-1）+log₇（5-x），
（1）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+3}{x-1}＞0}\\{x-1＞0}\\{5-x＞0}\end{array}\right.$，解得：1＜x＜5，
∴函數(shù)F（x）的定義域是（1，5）；
（2）若F（a）＞1，即${log}_{7}^{（\frac{a+3}{a-1}）（a-1）（5-a）}$＞1，（1＜a＜5），
∴（a+3）（a-5）＜7，解得：1-$\sqrt{23}$＜a＜1+$\sqrt{23}$，
而1＜a＜5，
故1＜a＜5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)的定義域問(wèn)題，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．