Question

已知直線l交拋物線C：y²=2px（p＞0）于A，B兩點，且∠AOB=90°，其中，點O為坐標原點，點A的坐標為（1，2）．
（I）求拋物線C的方程；
（II）求點B的坐標．

Answer 1

分析：（I）因為點A（1，2）在拋物線y²=2px上，將點的坐標代入方程即可求出p值，從而得到拋物線C的方程；
（II）設(shè)點B的坐標為（x₀，y₀），利用垂直關(guān)系得出B點坐標的一個關(guān)系式，再與拋物線的方程聯(lián)立方程，解出B的坐標即得．

解答：解：（I）因為點A（1，2）在拋物線y²=2px上，
所以2²=2p，-------------（2分）
解得p=2，-------------（3分）
故拋物線C的方程為y²=4x．-------------（4分）
（II）設(shè)點B的坐標為（x₀，y₀），由題意可知x_0≠0，
直線OA的斜率k_OA=2，直線OB的斜率k_OB=

y0

x0

，
因為∠AOB=90°，所以k_OA•k_OB=

2y0

x0

=-1，-------------（6分）
又因為點B（x₀，y₀）在拋物線y²=4x上，
所以y₀²=4x₀，-------------（7分）
聯(lián)立

y 2 0 =4x0 2y0=-x0

 解得

x0=16 y0=-8

或 

x0=0 y0=0

（舍），-------------（9分）
所以點B的坐標為（16，-8）．-------------（10分）

點評：本題考查拋物線的標準方程，以及簡單性質(zhì)，兩直線垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．