Question

5．國內某知名大學有男生14000人，女生10000人．該校體育學院想了解本校學生的運動狀況，根據性別采取分層抽樣的方法從全校學生中抽取120人，統(tǒng)計他們平均每天運動的時間，如表：（平均每天運動的時間單位：小時，該校學生平均每天運動的時間范圍是[0，3]）
男生平均每天運動的時間分布情況：

平均每天運動的時間	[0，0.5）	[0.5，1）	[1，1.5）	[1.5，2）	[2，2.5）	[2.5，3]
人數	2	12	23	18	10	x

女生平均每天運動的時間分布情況：

平均每天運動的時間	[0，0.5）	[0.5，1）	[1，1.5）	[1.5，2）	[2，2.5）	[2.5，3]
人數	5	12	18	10	3	y

（Ⅰ）請根據樣本估算該校男生平均每天運動的時間（結果精確到0.1）；
（Ⅱ）若規(guī)定平均每天運動的時間不少于2小時的學生為“運動達人”，低于2小時的學生為“非運動達人”．
①請根據樣本估算該校“運動達人”的數量；
②請根據上述表格中的統(tǒng)計數據填寫下面2×2列聯(lián)表，并通過計算判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“是否為‘運動達人’與性別有關？”

	運動達人	非運動達人	總  計
男  生
女  生
總  計

參考公式：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，其中n=a+b+c+d．
參考數據：

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）由分層抽樣求出男生抽取的人數，女生抽取人數，然后求解該校男生平均每天運動的時間．
（Ⅱ）①樣本中“運動達人”所占比例是$\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$，故估計該�！斑\動達人”人數；②填寫表格，求解K²的觀測值，推出在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，‘運動達人’與性別有關”的結果．

解答 解：（Ⅰ）由分層抽樣得：男生抽取的人數為$120×\frac{14000}{14000+10000}=70$人，女生抽取人數為120-70=50人，故x=5，y=2，（2分）
則該校男生平均每天運動的時間為：$\frac{0.25×2+0.75×12+1.25×23+1.75×18+2.25×10+2.75×5}{70}≈1.5$，（5分）
故該校男生平均每天運動的時間約為1.5小時；
（Ⅱ）①樣本中“運動達人”所占比例是$\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$，故估計該�！斑\動達人”有$\frac{1}{6}×（{14000+10000}）=4000$人；                                （8分）
②由表格可知：

	運動達人	非運動達人	總  計
男  生	15	55	70
女  生	5	45	50
總  計	20	100	120

（9分）
故K²的觀測值$k=\frac{{120{{（{15×45-5×55}）}^2}}}{20×100×50×70}=\frac{96}{35}≈2.743＜3.841$．（11分）
故在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下不能認為“是否為‘運動達人’與性別有關”．
（12分）

點評 本題考查分層抽樣，獨立檢驗的思想方法，考查分析問題解決問題的能力．