Question

已知函數(shù)為常數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時，證明恒成立；

（Ⅱ）若，且對于任意，恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）確定函數(shù)有最小值，所以恒成立.

（Ⅱ）實數(shù)的取值范圍是．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由得，所以．

由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，

由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是．

所以函數(shù)有最小值，所以恒成立.

（Ⅱ）由可知是偶函數(shù)．

于是對任意成立等價于對任意成立．

由得．

①當(dāng)時，．

此時在上單調(diào)遞增．

故，符合題意．

②當(dāng)時，．

當(dāng)變化時的變化情況如下表：

	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由此可得，在上，．

依題意，，又．

綜合①，②得，實數(shù)的取值范圍是．

考點：本題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值及不等式恒成立問題。

點評：典型題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題，通過研究函數(shù)的單調(diào)性，明確了極值情況。涉及不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化成了研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，得到求證不等式。