Question

11．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上一點(diǎn)，PM為∠F₁PF₂的角平分線，過(guò)F₁作PM的垂線交PM于點(diǎn)M，則|OM|的長(zhǎng)度為（　　）

• A． a
• B． b
• C． $\frac{a}{2}$
• D． $\frac{2}$

Answer 1

分析 先畫出雙曲線和焦點(diǎn)三角形，由題意可知PM是TF₁的中垂線，再利用雙曲線的定義，數(shù)形結(jié)合即可得結(jié)論．

解答 解：依題意如圖，延長(zhǎng)F₁M，交PF₂于點(diǎn)T，
∵PM是∠F₁PF₂的角分線．TF₁是PM的垂線，
∴PM是TF₁的中垂線，∴|PF₁|=|PT|，
∵P為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1上一點(diǎn)，
∴|PF₁|-|PF₂|=2a，
∴|TF₂|=2a，
在三角形F₁F₂T中，MO是中位線，
∴|OM|=a． 
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的定義的運(yùn)用以及雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的意義，解題時(shí)要善于運(yùn)用曲線定義，數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題．