Question

18．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（0，1），且離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=k（x-1）+1與橢圓E交于不同兩點M，N，線段MN的中點為P，O為坐標原點，且直線OP的斜率存在，求直線l與直線PO的斜率之積．

Answer 1

分析 （I）由題意知$b=1，\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，由此能求出橢圓E的方程．
（II）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）把y=k（x-1）+1代入$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，得（1+2k²）x²-（4k²-4k）x+2k²-4k=0，由此利用根的判別式、韋達定理、直線的斜率、橢圓性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出直線l與直線PO的斜率之積．

解答 （本小題滿分12分）
解：（I）由題意知$b=1，\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
又a²=b²+c²，故$a=\sqrt{2}$
∴橢圓E的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（5分）
（II）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
把y=k（x-1）+1代入$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
整理得（1+2k²）x²-（4k²-4k）x+2k²-4k=0，
由已知有△＞0，故${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}-4k}}{{1+2{k^2}}}$，…（8分）
y₁+y₂=k（x₁-1）+1+k（x₂-1）+1=k（x₁+x₂-2）+2=$\frac{-2（k-1）}{{1+2{k^2}}}$，…（9分）
于是P$（\frac{{2{k^2}-2k}}{{1+2{k^2}}}，\frac{-k+1}{{1+2{k^2}}}）$，直線PO的斜率為$-\frac{1}{2k}$，…（11分）
又直線l的斜率為k，∴直線l與直線PO的斜率之積為$-\frac{1}{2}$． …（12分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線與直線的斜率之積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、直線的斜率、橢圓性質(zhì)的合理運用．