是否存在常數(shù)a、b、c使等式12+22+32+…n2+(n-1)2+…22+12=an(bn2+c)對(duì)于一切n∈N*都成立,若存在,求出a、b、c并證明;若不存在,試說(shuō)明理由.
分析:先假設(shè)存在符合題意的常數(shù)a,b,c,再令n=1,n=2,n=3構(gòu)造三個(gè)方程求出a,b,c,再用用數(shù)學(xué)歸納法證明成立,證明時(shí)先證:(1)當(dāng)n=1時(shí)成立.(2)再假設(shè)n=k(k≥1)時(shí),成立,遞推到n=k+1時(shí),成立即可.
解答:解:假設(shè)存在a、b、c使12+22+32+…n2+(n-1)2+…21+12=an(bn2+c)對(duì)于一切n∈N*都成立.
當(dāng)n=1時(shí),a(b+c)=1;當(dāng)n=2時(shí),2a(4b+c)=6;當(dāng)n=3時(shí),3a(9b+c)=19.
解方程組
a(b+c)=1
a(4b+c)=3
3a(9b+c)=19
,解得
a=
1
3
b=2c
c≠0

證明如下:
①當(dāng)n=1時(shí),由以上知存在常數(shù)a、b、c使等式成立.
②假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí)等式成立,
即12+22+32+…k2+(k-1)2+…22+12=ak(bk2+c)=
1
3
k(2k2+1)
;
當(dāng)n=k+1時(shí),12+22+32+…(k+1)2+k2+…22+12=ak(bk2+c)=
1
3
k(2k2+1)
+(k+1)2+k2=
1
3
(k+1)[2(k+1)2+1]
;
即n=k+1時(shí),等式成立.
因此存在a=
1
3c
,b=2c,c≠0常數(shù)
,使等式對(duì)一切n∈N*都成立.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查研究存在性問(wèn)題和數(shù)學(xué)歸納法,對(duì)存在性問(wèn)題先假設(shè)存在,再證明是否符合條件,數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是遞推環(huán)節(jié),要符合假設(shè)的模型才能成立.
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3
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2
]

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n+1n
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