Question

16、已知函數(shù)f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）當(dāng)a＞1時，求證：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）若函數(shù)y=|f（x）-t|-1有三個零點，求t的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得：f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，由于a＞1，得到f'（x）＞0，從而函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（Ⅱ）由已知條件得，當(dāng)a＞0，a≠1時，f'（x）=0有唯一解x=0，又函數(shù)y=|f（x）-t|-1有三個零點，等價于方程f（x）=t±1有三個根，從而t-1=（f（x））_min=f（0）=1，解得t即得．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna
由于a＞1，故當(dāng)x∈（0，+∞）時，lna＞0，a^x-1＞0，所以f'（x）＞0，
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增（4分）
（Ⅱ）當(dāng)a＞0，a≠1時，因為f'（0）=0，且f'（x）在R上單調(diào)遞增，
故f'（x）=0有唯一解x=0（6分）
所以x，f'（x），f（x）的變化情況如表所示：

又函數(shù)y=|f（x）-t|-1有三個零點，所以方程f（x）=t±1有三個根，
而t+1＞t-1，所以t-1=（f（x））_min=f（0）=1，解得t=2（10分）．

點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．