已知函數(shù)f(x)=(2x+1)ln(2x+1).
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)P(0,f(0))處的切線方程;
(2)當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥2ax恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在x=2處的導(dǎo)數(shù),得到切線的斜率,然后根據(jù)點(diǎn)斜式可得切線方程;
(2)令g(x)=(2x+1)ln(2x+1)-2ax,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最大值,使最大值小于等于0,可求出a的取值范圍;
解答:解:(1)∵f(0)=0,∴P(0,0)
∴f'(x)=2ln(2x+1)+2,∴f'(0)=2                         2分
所以,曲線y=f(x)在點(diǎn)P(0,f(0))處的切線方程為y=2x           …4分
(2)令g(x)=(2x+1)ln(2x+1)-2ax,
對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù):g′(x)=2ln(2x+1)+2-2a
令g′(x)=0,解得x=
ea-1-1
2
,…6分
(i)當(dāng)a≤1時(shí),對(duì)所有x>0,g′(x)>0,所以g(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),
又g(0)=0,所以對(duì)x≥0,都有g(shù)(x)≥g(0),
即當(dāng)a≤1時(shí),對(duì)于所有x≥0,都有 f(x)≥2ax.                    …8分
(ii)當(dāng)a>1時(shí),對(duì)于0<x<
ea-1-1
2
,g′(x)<0,所以g(x)在(0,
ea-1-1
2
)是減函數(shù),
又g(0)=0,所以對(duì)0<x<
ea-1-1
2
,都有g(shù)(x)<g(0),10分
即當(dāng)a>1時(shí),不是對(duì)所有的x≥0,都有f(x)≥2ax成立.
綜上,a的取值范圍是(-∞,1].                               …12分.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,以及函數(shù)恒成立問(wèn)題,同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和計(jì)算的能力,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對(duì)稱,求φ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時(shí)f(x)的表達(dá)式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實(shí)數(shù)a的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實(shí)數(shù)m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項(xiàng)和為Sn,則S2010的值為( 。
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對(duì)于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

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