Question

如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC，底面△ABC是正三角形，M、N分別是側(cè)棱PB、PC的中點(diǎn)，若平面AMN⊥平面PBC，則平面AMN與平面ABC成二面角（銳角）的余弦值等于（　�。�

• A、

  30

  6

• B、

  21

  6

• C、

  6

  6

• D、

  3

  6

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：由已知得PA=PB=PC，且△ABC為正三角形，過(guò)頂點(diǎn)P作MN的垂線，垂足為E，延長(zhǎng)PE交BC于F，連接AF，過(guò)點(diǎn)P作底面ABC的垂線，垂足為O，設(shè)PA=PB=PC=a，由已知得∠PEA是二面角PMN-AMN的平面角，AB=BC=AC=

2 3

3

a，CF=

3 a

3

，PF=

6

3

a，OF=

1

3

AF=

a

3

，由此能求出側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值．

解答： 解：如圖，∵三棱錐P-ABC為正三棱錐，
∴PA=PB=PC，且△ABC為正三角形，
過(guò)頂點(diǎn)P作MN的垂線，垂足為E，延長(zhǎng)PE交BC于F，連接AF，過(guò)點(diǎn)P作底面ABC的垂線，垂足為O，
設(shè)PA=PB=PC=a，∵M(jìn)、N為PB、PC中點(diǎn)，
∴MN∥BC，∵PE⊥MN，∴PF⊥BC，
又PB=PC，∴E、F分別為MN、BC中點(diǎn)，
∵AM=AN，∴AE⊥MN，
∴∠PEA是二面角PMN-AMN的平面角，
∴∠AEP=90°，∵E為PF中點(diǎn)，∴AE為PF中垂線，
∴AF=PA=a，∴AB=BC=AC=

2 3

3

a，
∴CF=

BC

2

=

3 a

3

，
在Rt△PFC中，由勾股定理得到PF=

6

3

a，
由題意得O為底面△ABC的重心，∴OF=

1

3

AF=

a

3

，
∴側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值為：
cos∠PFO=

FO

PF

=

a 3

6 3 a

=

6

6

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與平面之間的平行、垂直等位置關(guān)系，線線角、線面角、二面角的概念、求法等知識(shí)，以及空間想象能力和邏輯推理能力．