Question

已知{a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足，．
（I）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（II）若c_n=a_nb_n（n∈N^*），數(shù)列{c_n}的前n項和．

Answer 1

解：（I），∴a₁=1，
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=，
∴a_n²-a_n-1²-a_n-a_n-1=0，
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∴a_n-a_n-1=1．
∴數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=n．
于是b_n+1=b_n+3ⁿ，∴b_n+1-b_n=3ⁿ，b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=．
（II），
∴，，
∴==，
，
∴
=
=．
分析：（I）由題設知a₁=1，a_n=S_n-S_n-1=，a_n²-a_n-1²-a_n-a_n-1=0，故（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，由此能導出a_n=n．于是b_n+1=b_n+3ⁿ，b_n+1-b_n=3ⁿ，由此能求出b_n．
（II），，由錯位相減法能求出，由此能得到==．
點評：第（I）題考查數(shù)列通項公式的求法，解題時要注意迭代法的合理運用；第（II）題考查前n項和的計算和極限在數(shù)列中的運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意數(shù)列性質(zhì)的合理運用．