Question

13．在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC為正三角形，D，E分別為BC，CA的中點(diǎn)．
（1）在BC上求做一點(diǎn)F，使AD∥平面PEF，并證明你的結(jié)論；
（2）設(shè)AB=PA=2，對于（1）中的點(diǎn)F，求三棱錐B-PEF的體積．

Answer 1

分析 （1）取CD的中點(diǎn)O，連接EO，則EO∥AD，即可證明：使AD∥平面PEF；
（2）利用等體積轉(zhuǎn)化，結(jié)合三棱錐的體積公式，求三棱錐B-PEF的體積．

解答 解：（1）取CD的中點(diǎn)O，連接EO，則EO∥AD，
∵AD?平面PEF，EO?平面PEF，
∴AD∥平面PEF；
（2）由（1），AB=2，△ABC為正三角形，可得S_△BEF=$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，
∵PA⊥平面ABC，
∴三棱錐B-PEF的體積V=V_P-BEF=$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{8}×2$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查直線和平面平行的判定和三棱錐B-PEF的體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．