Question

如圖正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中底面邊長(zhǎng)AB=1，高BB₁=1，M為底面BC邊的中點(diǎn)．
（1）求二面角M-AB₁-B的正切值；
（2）求A₁C中點(diǎn)F到面MAB₁的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）作MD⊥AB，連接EM，則∠MED為二面角M-AB₁-B的平面角，由此能求出二面角M-AB₁-B的正切值．
（2）由已知得A₁C∥面MAB₁，從而F到面MAB₁的距離即為C到面MAB₁的距離，由V_C-MAB=V_B-AMC，利用等積法能求出A₁C中點(diǎn)F到面MAB₁的距離．

解答： 解：（1）作MD⊥AB，則DB=

1

4

，
DM=

BM2-DB2

=

3

4

，
作DE⊥AB₁，DE=

AD×1

AB

=

3 4

2

=

3

4 2

，
連接EM，則∠MED為二面角M-AB₁-B的平面角，
∴tan∠MED=

MD

ED

=

6

3

．
（2）連結(jié)A₁B，交AB₁于O，連結(jié)MO，
∵M(jìn)是底面BC邊的中點(diǎn)，∴MO∥A₁C，
∵M(jìn)O?面MAB₁，A1C 不包含于面MAB₁，
∴A₁C∥面MAB₁，
∴F到面MAB₁的距離即為C到面MAB₁的距離，設(shè)為h，
△AB₁M中，MB₁=

1+( 1 2 )2

=

5

2

，
AB₁=

1+1

=

2

，AM=

3

2

，
∴AM2+MB12=AB12，
由V_C-MAB=V_B-AMC，得

1

3

S△ABM•h=

1

3

×

3

8

×1，
∴h=

5

5

．
即A₁C中點(diǎn)F到面MAB₁的距離為

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角M-AB₁-B的正切值的求法，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．