3.如圖,橢圓E:x2a2x2a2+y22=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(c,0),菱形ABCD的各頂點(diǎn)在橢圓E上,且直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)F.
(I)若直線AB方程為2x-y-2=0,求橢圓E的方程;
(Ⅱ)求橢圓E的離心率的取值范圍.

分析 (I)由題意可得直線2x-y-2=0過(guò)F(1,0),設(shè)A(m,n),B(s,t),由對(duì)稱(chēng)性可得C(-m,-n),D(-s,-t),由菱形的對(duì)角線垂直,可得kAC•kBD=-1,將直線方程代入橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理,結(jié)合直線的斜率公式,化簡(jiǎn)整理可得a,b的方程,解方程可得a,b,進(jìn)而得到橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)直線AB的方程為y=k(x-c),設(shè)A(m,n),B(s,t),由對(duì)稱(chēng)性可得C(-m,-n),D(-s,-t),由菱形的對(duì)角線垂直,可得kAC•kBD=-1,將直線AB的方程代入橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式,化簡(jiǎn)整理,可得k2(a2c2-b4)=a2b2,由a2c2-b4>0,即ac>b2=a2-c2,結(jié)合離心率公式計(jì)算即可得到所求范圍.

解答 解:(I)由題意可得直線2x-y-2=0過(guò)F(1,0),
設(shè)A(m,n),B(s,t),由對(duì)稱(chēng)性可得C(-m,-n),D(-s,-t),
由菱形的對(duì)角線垂直,可得kAC•kBD=-1,
將直線y=2(x-1),代入橢圓方程,可得
(b2+2a2)x2-4a2x+2a2-a2b2=0,
m+s=4a22+2a2,ms=2a2a222+2a2,
ntms=-1即2m1s1ms=-1,
即為3ms+2-2(m+s)=0,
即3•2a2a222+2a2+2-2•4a22+2a2=0,
化為2a2+2b2-3a2b2=0,
又a2-b2=1,
解得a2=2,b2=1,
即有橢圓的方程為x22+y2=1;
(Ⅱ)設(shè)直線AB的方程為y=k(x-c),
設(shè)A(m,n),B(s,t),由對(duì)稱(chēng)性可得C(-m,-n),D(-s,-t),
由菱形的對(duì)角線垂直,可得kAC•kBD=-1,
將直線AB的方程代入橢圓方程可得,
(b2+a2k2)x2-2a2k2cx+a2c2k2-a2b2=0,
即有m+s=2a2k2c2+a2k2,ms=a2c2k2a222+a2k2,
即有ntms=-1即k2mcscms=-1,
即有(1+k2)ms-k2c(m+s)+k2c2=0,
(1+k2)•\frac{{a}^{2}{c}^{2}{k}^{2}-{a}^{2}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}-k2c•2a2k2c2+a2k2+k2c2=0,
化簡(jiǎn)可得k2(a2c2-b4)=a2b2
由a2c2-b4>0,即ac>b2=a2-c2,
由e=ca,可得e2+e-1>0,
解得e>512,或e<152(舍去),
則橢圓的離心率的范圍是(512,1).

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法,注意運(yùn)用對(duì)稱(chēng)性和聯(lián)立直線方程與橢圓方程,由韋達(dá)定理和兩直線垂直的條件:斜率之積為-1,考查橢圓的離心率的范圍,注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程和橢圓方程,運(yùn)用不等式的性質(zhì)和解法,以及離心率公式,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

13.已知首項(xiàng)為32的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=(-1)n+1•n(n∈N*),求數(shù)列{an•bn}的前n項(xiàng)和Tn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

14.已知△ABC和△A1B1C1滿足sinA=cosA1,sinB=cosB1,sinC=cosC1
(1)求證:△ABC是鈍角三角形,并求最大角的度數(shù);
(2)求sin2A+sin2B+sin2C的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

11.如圖,多面體ABCDEF中,四邊形ABCD為菱形,且∠DAB=60°,EF∥AC,AD=2,EA=ED=EF=3
(1)求證:AE∥面BDF;
(2)求證:AD⊥BE.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

18.已知數(shù)對(duì)按如下規(guī)律排列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,則第58個(gè)數(shù)對(duì)是(3,9).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

8.已知z=2+i,(i是虛數(shù)單位),z的共軛復(fù)數(shù)是¯z,則|32z¯z|=( �。�
A.5B.25C.4D.3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

15.若x,y滿足約束條件{x10xy0x+y40x+2y2x+y的取值范圍為[1,75].

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

12.已知實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組{x1x+y40axy20,若實(shí)數(shù)a=12,則不等式組表示的平面區(qū)域的面積為27;若目標(biāo)函數(shù)z=4x+3y的最大值為15,則實(shí)數(shù)a的值為1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

13.已知點(diǎn)O是四邊形ABCD所在平面外任意一點(diǎn),且OD=2OA+xOB-yOC(x,y∈R),則x2+y2的最小值為(  )
A.0B.12C.22D.1

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案