分析 (I)由題意可得直線√2x-y-√2=0過(guò)F(1,0),設(shè)A(m,n),B(s,t),由對(duì)稱(chēng)性可得C(-m,-n),D(-s,-t),由菱形的對(duì)角線垂直,可得kAC•kBD=-1,將直線方程代入橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理,結(jié)合直線的斜率公式,化簡(jiǎn)整理可得a,b的方程,解方程可得a,b,進(jìn)而得到橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)直線AB的方程為y=k(x-c),設(shè)A(m,n),B(s,t),由對(duì)稱(chēng)性可得C(-m,-n),D(-s,-t),由菱形的對(duì)角線垂直,可得kAC•kBD=-1,將直線AB的方程代入橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式,化簡(jiǎn)整理,可得k2(a2c2-b4)=a2b2,由a2c2-b4>0,即ac>b2=a2-c2,結(jié)合離心率公式計(jì)算即可得到所求范圍.
解答 解:(I)由題意可得直線√2x-y-√2=0過(guò)F(1,0),
設(shè)A(m,n),B(s,t),由對(duì)稱(chēng)性可得C(-m,-n),D(-s,-t),
由菱形的對(duì)角線垂直,可得kAC•kBD=-1,
將直線y=√2(x-1),代入橢圓方程,可得
(b2+2a2)x2-4a2x+2a2-a2b2=0,
m+s=4a22+2a2,ms=2a2−a222+2a2,
由ntms=-1即2(m−1)(s−1)ms=-1,
即為3ms+2-2(m+s)=0,
即3•2a2−a222+2a2+2-2•4a22+2a2=0,
化為2a2+2b2-3a2b2=0,
又a2-b2=1,
解得a2=2,b2=1,
即有橢圓的方程為x22+y2=1;
(Ⅱ)設(shè)直線AB的方程為y=k(x-c),
設(shè)A(m,n),B(s,t),由對(duì)稱(chēng)性可得C(-m,-n),D(-s,-t),
由菱形的對(duì)角線垂直,可得kAC•kBD=-1,
將直線AB的方程代入橢圓方程可得,
(b2+a2k2)x2-2a2k2cx+a2c2k2-a2b2=0,
即有m+s=2a2k2c2+a2k2,ms=a2c2k2−a222+a2k2,
即有ntms=-1即k2(m−c)(s−c)ms=-1,
即有(1+k2)ms-k2c(m+s)+k2c2=0,
(1+k2)•\frac{{a}^{2}{c}^{2}{k}^{2}-{a}^{2}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}-k2c•2a2k2c2+a2k2+k2c2=0,
化簡(jiǎn)可得k2(a2c2-b4)=a2b2,
由a2c2-b4>0,即ac>b2=a2-c2,
由e=ca,可得e2+e-1>0,
解得e>√5−12,或e<−1−√52(舍去),
則橢圓的離心率的范圍是(√5−12,1).
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法,注意運(yùn)用對(duì)稱(chēng)性和聯(lián)立直線方程與橢圓方程,由韋達(dá)定理和兩直線垂直的條件:斜率之積為-1,考查橢圓的離心率的范圍,注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程和橢圓方程,運(yùn)用不等式的性質(zhì)和解法,以及離心率公式,屬于中檔題.
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A. | 5 | B. | 25 | C. | 4 | D. | 3 |
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A. | 0 | B. | 12 | C. | √22 | D. | 1 |
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