Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2點M，N分別在棱PD，PC上，且

PN

=

1

2

NC

，PM=MD．
（1）求證：PC⊥平面AMN
（2）求二面角B-AN-M的大�。�

Answer 1

分析：（1）以A點為坐標原點，AD、AB、AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，求出向量

CP

，

AN

，

AM

，然后計算

CP

•

AN

與

CP

•

AM

，證得

CP

⊥

AN

，

CP

⊥

AM

，而AM∩AN=A，根據(jù)線面垂直的判定定理可得結(jié)論；
（2）由（1）可知

CP

是平面AMN的一個法向量，然后求出平面BAN的一個法向量為

n

=（x，y，z），設二面角B-AN-M的大小為θ，則cosθ=

n • CP

|n| |CP|

，最后利用反三角函數(shù)表示即可．

解答：解：（1）以A點為坐標原點，AD、AB、AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系
則A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（2，0，0），P（0，0，2），M（1，0，1），∵

PN

=

1

2

NC

，∴N（

2

3

，

2

3

，

4

3

）

CP

=（-2，-2，2），

AN

=（

2

3

，

2

3

，

4

3

），

AM

=（1，0，1）
∴

CP

•

AN

=（-2）×

2

3

+（-2）×

2

3

+2×

4

3

=0

CP

•

AM

=（-2）×1+0+2×1=0
∴

CP

⊥

AN

，

CP

⊥

AM

而AM∩AN=A
∴PC⊥平面AMN
（2）由（1）可知

CP

是平面AMN的一個法向量
設平面BAN的一個法向量為

n

=（x，y，z）

AB

=（0，2，0），

AN

=（

2

3

，

2

3

，

4

3

）
∴

n • AB =0 n • AN =0

即

2y=0 2 3 x+ 2 3 y+ 4 3 z=0

令x=2，則y=0，z=-1
∴

n

=（2，0，-1）
設二面角B-AN-M的大小為θ，則cosθ=

n • CP

|n| |CP|

=

-4-2

5 × 12

=-

2 15

15

∴二面角B-AN-M的大小為π-arccos

2 15

15

點評：本題主要考查了線面垂直的判定，以及利用空間向量的方法求二面角的平面角，同時考查了計算能力，屬于中檔題．