Question

1．記min|a，b|為a、b兩數(shù)的最小值，當正數(shù)x，y變化時，令t=min|2x+y，$\frac{2y}{{x}^{2}+2{y}^{2}}$|，則t的最大值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由新定義可得t≤2x+y，t≤$\frac{2y}{{x}^{2}+2{y}^{2}}$，（x，y＞0），由兩式相乘，結合重要不等式，可得t的最大值．

解答 解：由t=min|2x+y，$\frac{2y}{{x}^{2}+2{y}^{2}}$|，可得
t≤2x+y，t≤$\frac{2y}{{x}^{2}+2{y}^{2}}$，（x，y＞0），
即有t²≤$\frac{4xy+2{y}^{2}}{{x}^{2}+2{y}^{2}}$，
由$\frac{4xy+2{y}^{2}}{{x}^{2}+2{y}^{2}}$=$\frac{2（2xy+{y}^{2}）}{{x}^{2}+2{y}^{2}}$≤$\frac{2（{x}^{2}+{y}^{2}+{y}^{2}）}{{x}^{2}+2{y}^{2}}$=2，
可得t²≤2，解得0＜t≤$\sqrt{2}$．
可得t的最大值為$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查新定義的理解和運用，考查最值的求法，注意運用不等式的性質和基本不等式，考查運算能力，屬于中檔題．