Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1

3

x3-(1+a)x2+4ax+24a，其中常數(shù)a＞1．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若當x≥0時，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出導函數(shù)，利用導數(shù)大于0對應(yīng)的為原函數(shù)的增區(qū)間，導數(shù)小于0對應(yīng)的為原函數(shù)的減區(qū)間，即可求f（x）的單調(diào)性；
（2）由（1）知，當x≥0時，f（x）在x=2a或x=0處取得最小值，所以須滿足最小值大于0，解不等式組

a＞1 f(2a)＞0 f(0)＞0

即可求a的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=x²-2（1+a）x+4a=（x-2）（x-2a），（2分）
由已知a＞1，∴2a＞2，∴令f′（x）＞0，解得x＞2a或x＜2，
令f′（x）＜0，解得2＜x＜2a，（5分）
故當a＞1時，f（x）在區(qū)間（-∞，2）和（2a，+∞）上是增函數(shù)，在區(qū)間（2，2a）上是減函數(shù)．（6分）
（2）由（1）知，當x≥0時，f（x）在x=2a或x=0處取得最小值．（7分）
f(2a)=

1

3

(2a)3-(1+a)(2a)2+4a•2a+24a=-

4

3

a3+4a2+24a=-

4

3

a(a-6)(a+3)，f（0）=24a．（9分）
則

a＞1 f(2a)＞0 f(0)＞0

即

a＞1 - 4 3 a(a+3)(a-6)＞0 24a＞0

解得1＜a＜6，
故a的取值范圍是（1，6）．（14分）

點評：本題主要考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)恒成立問題，是對知識的綜合考查，也是高考常考題型．