Question

已知長軸在x軸上的橢圓的離心率e=

1

2

，且過點(diǎn)(1，

3

2

)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是橢圓的左、右焦點(diǎn)，求PF₁•PF₂的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由已知中橢圓的離心率和所過定點(diǎn)，可構(gòu)造關(guān)于a，b的方程組，解方程組求出a，b的值，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由（1）可求出橢圓的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊和基本不等式，可得PF₁•PF₂的最大值

解答：解：（1）由題意，可設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
因為e=

1

2

，
所以

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

4

，
即

b2

a2

=

3

4

．…（4分）
又由橢圓過點(diǎn)(1，

3

2

)得：

1

a2

+

( 3 2 )2

a2

=1，即

1

a2

+

9

4b2

=1．
解得a²=4，b²=3，
所以橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（8分）
（2）由（1）得F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．
因為PF₁+PF₂=2a=4，…（10分）
所以PF1•PF2≤(

PF1+PF2

2

)2=4，當(dāng)且僅當(dāng)PF₁=PF₂=2時等號成立，
所以（PF₁•PF₂）_max=4．…（15分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，基本不等式，橢圓的簡單性質(zhì)，難度不大，屬于中檔題．