Question

（2012•重慶）設f（x）=4cos（ωx-

π

6

）sinωx-cos（2ωx+π），其中ω＞0．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的值域
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[-

3π

2

，

π

2

]上為增函數，求ω的最大值．

Answer 1

分析：（I）由題意，可由三角函數的恒等變換公式對函數的解析式進行化簡得到f（x）=

3

sin2ωx+1，由此易求得函數的值域；
（II）f（x）在區(qū)間[-

3π

2

，

π

2

]上為增函數，此區(qū)間必為函數某一個單調區(qū)間的子集，由此可根據復合三角函數的單調性求出用參數表示的三角函數的單調遞增區(qū)間，由集合的包含關系比較兩個區(qū)間的端點即可得到參數ω所滿足的不等式，由此不等式解出它的取值范圍，即可得到它的最大值．

解答：解：f（x）=4cos（ωx-

π

6

）sinωx-cos（2ωx+π）
=4（

3

2

cosωx+

1

2

sinωx）sinωx+cos2ωx
=2

3

cosωxsinωx+2sin²ωx+cos²ωx-sin²ωx
=

3

sin2ωx+1，
∵-1≤sin2ωx≤1，
所以函數y=f（x）的值域是[1-

3

，1+

3

]
（II）因y=sinx在每個區(qū)間[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈z上為增函數，
令2kπ-

π

2

≤2ωx≤2kπ+

π

2

，又ω＞0，
所以，解不等式得

kπ

ω

-

π

4ω

≤x≤

kπ

ω

+

π

4ω

，即f（x）=

3

sin2ωx+1，（ω＞0）在每個閉區(qū)間[

kπ

ω

-

π

4ω

，

kπ

ω

+

π

4ω

]，k∈z上是增函數
又有題設f（x）在區(qū)間[-

3π

2

，

π

2

]上為增函數
所以[-

3π

2

，

π

2

]⊆[

kπ

ω

-

π

4ω

，

kπ

ω

+

π

4ω

]，對某個k∈z成立，
于是有

- 3π 2 ≥- π 4ω π 2 ≤ π 4ω

．解得ω≤

1

6

，故ω的最大值是

1

6

．

點評：本題考查三角恒等變換的運用及三角函數值域的求法，解題的關鍵是對所給的函數式進行化簡，熟練掌握復合三角函數單調性的求法，本題考查了轉化的思想，計算能力，屬于中等難度的題