Question

已知等差數(shù)列{a_n}，設(shè)b_n=（

1

2

） an，又已知b₁+b₂+b₃=

21

8

，b₁•b₂•b₃=

1

8

，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式
（2）若數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則a_n=a₁+（n-1）d．從而bn=（

1

2

）a₁+（n-1）d，由已知得

b1b3= 1 4 b1+b3= 17 8

，由此能求出a_n．
（2）由數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，得a₁=3，d=-2，由此能求出數(shù)列{a_n}的前n項和．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則a_n=a₁+（n-1）d．
∴bn=（

1

2

）a₁+（n-1）d，
b₁b₃=（

1

2

）a₁•（

1

2

）a₁+2d=（

1

2

）2（a₁+d）=b₂²．
由b₁b₂b₃=

1

8

，得b₂³=

1

8

，
解得b₂=

1

2

．
代入已知條件b₁b₂b₃=

1

8

．b₁+b₂+b₃=

21

8

，
整理，得

b1b3= 1 4 b1+b3= 17 8

，解這個方程組得b₁=2，b₃=

1

8

，或b₁=

1

8

，b₃=2
∴a₁=-1，d=2或a₁=3，d=-2．
所以，當(dāng)a₁=-1，d=2時
a_n=a₁+（n-1）d=2n-3．
當(dāng)a₁=3，d=-2時
a_n=a₁+（n-1）d=5-2n．
（2）∵數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，∴a₁=3，d=-2，
∴數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=3n+

n(n-1)

2

×(-2)=4n-n²．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．