Question

（3x-

1

3 x

）ⁿ的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為A，所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為B，若A+B=96，則展開(kāi)式中的含有x²的項(xiàng)的系數(shù)為（　　）

• A、-540
• B、-180
• C、540
• D、180

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：求出A和B，再根據(jù)A+B=96求得n的值，可得二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于2，求得r的值，即可求得展開(kāi)式中的含有x²的項(xiàng)的系數(shù)．

解答： 解：令x=1，可得（3x-

1

3 x

）ⁿ的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為A=2ⁿ，所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為B=2^n-1，
根據(jù)A+B=2ⁿ+2^n-1=3×2^n-1=96，∴2^n-1=32，∴n=6．
∴（3x-

1

3 x

）ⁿ=（3x-

1

3 x

）⁶的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r 6

•3^6-r•（-1）^r•x6-

4r

3

，
令6-

4r

3

=2，求得 r=3，故展開(kāi)式中的含有x²的項(xiàng)的系數(shù)為

C

3 6

•3³（-1）=-540，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．