Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinxcosx+cos2x-

1

2

．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-

5

12

π，

1

24

π]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：本題要先利用三角恒等變換公式，化簡(jiǎn)整理后，將f（x）=

3

sinxcosx+cos2x-

1

2

變?yōu)閒（x）=sin(2x+

π

6

)
（I）由正弦函數(shù)的單調(diào)性，令相位屬于正弦函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間，解出x的取值范圍，即得到函數(shù)的遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；
（II）先由x的范圍得出 -

2

3

π≤2x+

π

6

≤

π

4

，然后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

sinxcosx+cos2x-

1

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x…（2分）=sin(2x+

π

6

)…（3分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）．
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

（k∈Z）．…（6分）
所以 f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)；單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)．
（Ⅱ）因?yàn)?nbsp;-

5

12

π≤x≤

1

24

π，
所以 -

2

3

π≤2x+

π

6

≤

π

4

．…（8分）
所以 當(dāng)2x+

π

6

=

π

4

，即x=

π

24

時(shí)，f（x）取得最大值

2

2

；當(dāng)2x+

π

6

=-

π

2

，即x=-

π

3

時(shí)，f（x）取得最小值-1．…（11分）

點(diǎn)評(píng)：本題是三角函數(shù)中的常規(guī)題型，近幾年高考中這種類型也比較常見，其步驟是先化簡(jiǎn)整理，再由公式進(jìn)行求解，求單調(diào)區(qū)間，求最值等，此類題掌握好解題規(guī)律即可順利解出，中檔題．