Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，且a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

解：（1）因?yàn)閍_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，即（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，又a_n＞0，所以有2a_n-a_n+1=0，所以2a_n=a_n+1，所以數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列．
由a₂+a₄=2a₃+4得2a₁+8a₁=8a₁+4，解得a₁=2，故a_n=2ⁿ（n∈N^*）
（2）na_n=n•2ⁿ，S_n=2+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ①2S_n=2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
①-②有-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
故S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2（n∈N^*）
分析：（1）將a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，化簡(jiǎn)為（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，又a_n＞0，得出2a_n=a_n+1，數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列．
（2）利用錯(cuò)位相消法求和即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的判定，性質(zhì)和數(shù)列的求和．對(duì)于一些特殊數(shù)列的求和可利用錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)法等方法來(lái)解決．