Question

已知數(shù)列{a_n}的前n 項(xiàng)和S_n是關(guān)于n（n∈N^*）的二次函數(shù)，其圖象經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A，B，C（如圖所示）．
（1）（本小題7分） 求S_n的解析式；
（2）（本小題8分）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數(shù)圖象中A（1，-4），B（2，-4），C（4，8），我們?cè)O(shè)出數(shù)列{a_n}的前n 項(xiàng)和S_n的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)待定系數(shù)法，求出S_n的表達(dá)式，進(jìn)而得到答案．
（2）由（1）中S_n的表達(dá)式，根據(jù)n=1時(shí)，a₁=S₁，n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，易求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的定義，易得到結(jié)論．

解答：解：（1）由題意設(shè)S_n=an²+bn+c，將A（1，-4），B（2，-4），C（4，8）
代入得，

a+b+c=-4 4a+2b+c=-4 16a+4b+c=8

解之得

a=2 b=-6 c=0.

∴S_n=2n²-6n，n∈N^*．
（2）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=-4；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n²-6n-[2（n-1）²-6（n-1）]=4n-8，對(duì)n=1也成立．
∴a_n=4n-8．
∵a_n+1-a_n=[4（n+1）-8]-（4n-8）=4（為常數(shù)），∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列與函數(shù)的綜合，其中由數(shù)列{a_n}的前n 項(xiàng)和S_n求通項(xiàng)公式的方法，n=1時(shí)，a₁=S₁，n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，是求數(shù)列通項(xiàng)公式最常用的方法．