Question

1．已知函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，且f（-1）=e，g（x）=-4^x+m•2^x+1+m²+2m-1，若M={x|f（g（x））＞e}=R，則實數(shù)m的取值范圍是[-2，0]．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化不等式恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)恒成立進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，且f（-1）=e，
∴不等式f（g（x））＞e等價為f（g（x））＞f（-1），
即g（x）＜-1，
若M={x|f（g（x））＞e}=R
則等價為g（x）＜-1恒成立，
即-4^x+m•2^x+1+m²+2m-1＜-1，
即-4^x+m•2^x+1+m²+2m＜0恒成立，
設(shè)t=2^x，則t＞0，
則不等式等價為-t²+2mt+m²+2m＜0，
即t²-2mt-m²-2m＞0，在（0，+∞）上恒成立，
設(shè)h（t）=t²-2mt-m²-2m，
①$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-2m}{2}=m≤0}\\{h（0）=-{m}^{2}-2m≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m≤0}\\{-2≤m≤0}\end{array}\right.$，即-2≤m≤0，
②$\left\{\begin{array}{l}{△=4{m}^{2}+4（{m}^{2}+2m）＜0}\\{-\frac{-2m}{2}＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+m＜0}\\{m＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-1＜m＜0}\\{m＞0}\end{array}\right.$此時無解，
綜上-2≤m≤0，
故答案為：[-2，0]．

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用換元法，構(gòu)造法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．