【題目】已知橢圓的左右焦點與其短軸得一個端點是正三角形的三個頂點，點在橢圓上，直線與橢圓交于兩點，與軸， 軸分別相交于點合點，且，點時點關(guān)于軸的對稱點， 的延長線交橢圓于點，過點分別做軸的垂線，垂足分別為.

（1） 求橢圓的方程；

（2）是否存在直線，使得點平分線段？若存在，請求出直線的方程；若不存在，請說明理由。

【答案】（1）;（2）存在直線的方程為或.

【解析】試題分析: (1)由正三角形的高與邊長的關(guān)系可求出,再由點 在橢圓上,可求出 的值,從而求出橢圓方程; (2)假設(shè)存在,由直線方程可求出 點的坐標,由已知條件可求出 點的坐標,設(shè)聯(lián)立直線與橢圓的方程,消去 ,得到關(guān)于 的一元二次方程,由韋達定理可求出 的表達式以及直線 的斜率,聯(lián)立直線與橢圓方程,可求出的表達式,進而求出的表達式, 由平分線段，求出的值,得出直線方程.

試題解析:（1）由題意知，即， ，即,

∵在橢圓上，∴，

所以橢圓方程為.

（2）存在

設(shè)，∵

∴,

∴①

∴，

聯(lián)立 ∴②

∴

∴

∴

若平分線段，則

即， ， ∴

∵ 把①，②代入，得

所以直線的方程為或

點睛:本題主要考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系,屬于中檔題.第一問求橢圓方程很容易,大部分學生能做對; 在第二問中,假設(shè)存在, 當點平分線段, 點為的中點,利用中點坐標公式,求出的值,得出直線方程.注意本題涉及的點線位置關(guān)系比較復雜,容易弄錯.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在梯形中， ， ， ，平面平面，四邊形是矩形， ，點在線段上，且．

（1）求證： 平面；

（2）求直線與平面所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】用隨機模擬的方法估算邊長是2的正方形內(nèi)切圓的面積(如圖所示),并估計π的近似值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當時，證明：對任意的，有.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為調(diào)查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：

性別

是否需要志愿者

男

女

需要

40

30

不需要

160

270

（Ⅰ）估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人比例；

（Ⅱ）能否有的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？

（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）中的結(jié)論，能否提供更好的調(diào)查方法來估計該地區(qū)老年人中需要志愿幫助？

附：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， .

（Ⅰ）若和在有相同的單調(diào)區(qū)間，求的取值范圍；

（Ⅱ）令（），若在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點．

（i）求的取值范圍；

（ii）設(shè)兩個極值點分別為， ，證明： ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知定義域為，對任意都有，且當時， .

(1)試判斷的單調(diào)性，并證明；

(2)若，

①求的值；

②求實數(shù)的取值范圍，使得方程有負實數(shù)根.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值4 和最小值1，設(shè).

（1）求的值；

（2）若不等式在區(qū)間上有解，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的極小值；

（Ⅱ）設(shè)定義在上的函數(shù)在點處的切線方程為：，當時，若在內(nèi)恒成立，則稱為函數(shù)的“轉(zhuǎn)點”．當時，試問函數(shù)是否存在“轉(zhuǎn)點”？若存在，求出轉(zhuǎn)點的橫坐標；若不存在，請說明理由．

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