Question

已知⊙O₁：x²+y²=144與⊙O₂：x²+30x+y²+216=0，試判斷兩圓的位置關(guān)系，并求兩圓公切線的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系及其判定

專題：直線與圓

分析：求出兩圓的圓心和半徑，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可．

解答： 解：⊙O₁：x²+y²=144的圓心為O₁（0，0），半徑r=12，
⊙O₂：x²+30x+y²+216=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+15）²+y²=9，圓心為O₂（-15，0），半徑R=3，
兩圓的圓心距|O₁O₂|=15=12+3=R+r，
故兩圓外切，則兩圓的內(nèi)公切線為x=12，
過圓心分別作公切線的垂直，
則設(shè)|OC|=a，
則根據(jù)比例關(guān)系得

3

12

=

a-15

a

，
解得a=20．即C（-20，0），
設(shè)公切線的斜率為k，
則切線方程為y=k（x+20），
即kx-y+20k=0，
則圓心（0，0）當(dāng)切線的距離d=12，
即d=

|20k|

1+k2

=12，
解得k=±

3

4

，
即切線方程為y=

3

4

（x+20）=

3

4

x+15或y=-

3

4

（x+20）=-

3

4

x-15，
故兩圓的公切線為y=

3

4

x+15或y=-

3

4

x-15或x=-12．

點(diǎn)評：本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系的判斷以及兩圓公切線的求解，運(yùn)算量比較大綜合性較強(qiáng)．