【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,E為PB上的點(diǎn),且2BE=EP.

(1)證明:AC⊥DE;
(2)若PC= BC,求二面角E﹣AC﹣P的余弦值.

【答案】
(1)解:∵PD⊥平面ABCD,AC平面ABCD

∴PD⊥AC

∵底面ABCD是正方形,

∴BD⊥AC,

∵PD、BD是平面PBD內(nèi)的相交直線,

∴AC⊥平面PBD

∵DE平面PBD,

∴AC⊥DE


(2)解:分別以DP、DA、DC所在直線為x、y、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示

設(shè)BC=3,則CP=3 ,DP=3,結(jié)合2BE=EP可得

D(0,0,0),A(0,3,0),C(0,0,3),P(3,0,0),

E(1,2,2)

=(0,3,﹣3), =(3,0,﹣3), =(1,2,﹣1)

設(shè)平面ACP的一個(gè)法向量為 =(x,y,z),可得

,取x=1得 =(1,1,1)

同理求得平面ACE的一個(gè)法向量為 =(﹣1,1,1)

∵cos< >= = ,∴二面角E﹣AC﹣P的余弦值等于


【解析】(1)由線面垂直的定義,得到PD⊥AC,在正方形ABCD中,證出BD⊥AC,根據(jù)線面垂直判定定理證出AC⊥平面PBD,從而得到AC⊥DE;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.得D、A、C、P、E的坐標(biāo),從而得到 、 的坐標(biāo),利用垂直向量數(shù)量積為零的方法,建立方程組解出 =(1,1,1)是平面ACP的一個(gè)法向量, =(﹣1,1,1)是平面ACE的一個(gè)法向量,利用空間向量的夾角公式即可算出二面角E﹣AC﹣P的余弦值.

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組數(shù)

第l組

第2組

第3組

第4組

第5組

分組

頻數(shù)

20

36

30

10

4

(1)求;

(2)從第l,3,4組中用分層抽樣的方法抽取6人,求第l,3,4組抽取的人數(shù):

(3)在(2)抽取的6人中再隨機(jī)抽取2人,求所抽取的2人來自同一個(gè)組的概率.

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(1)求本月恰有兩臺儀器完全合格的概率;
(2)若生產(chǎn)一臺儀器合格可盈利5萬元,不合格則要虧損1萬元,記該廠每月的贏利額為ξ,求ξ的分布列和每月的盈利期望.

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組號

分組

頻數(shù)

頻率

第1組

5

0.05

第2組

a

0.35

第3組

30

b

第4組

20

0.20

第5組

10

0.10

合計(jì)

n

1.00

(1)求出頻率分布表中的值,并完成下列頻率分布直方圖;

(2)為了能對學(xué)生的體能做進(jìn)一步了解,該校決定在第1,4,5組中用分層抽樣取7名學(xué)生進(jìn)行不同項(xiàng)目的體能測試,若在這7名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行引體向上測試,求第4組中至少有一名學(xué)生被抽中的概率.

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A. 24B. 28C. 32D. 36

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