Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）D為橢圓C的右頂點(diǎn)，設(shè)A是橢圓上異于D的一動(dòng)點(diǎn)，作AD的垂線(xiàn)交橢圓與點(diǎn)B，求證：直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)條件可知 解得 ，由此能夠推導(dǎo)出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)l：y=kx+m，由方程組 消去y，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，然后結(jié)合題設(shè)條件利用根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系求解．
解答：解：（1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
a+c=3，a-c=1，a=2，c=1，b²=3，
∴．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l：y=kx+m，
由，得：（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，3+4k²-m²＞0．．
∵AD⊥BD，k_AD•k_BD=-1，（或）
∴，y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，，7m²+16mk+4k²=0，
解得，且滿(mǎn)足3+4k²-m²＞0
當(dāng)m=-2k時(shí)，l：y=k（x-2），直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（2，0），與已知矛盾；
當(dāng)時(shí)，，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．
綜上可知，直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及應(yīng)用和直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，具有較大的難度，解題時(shí)要注意的靈活運(yùn)用．