Question

已知平面α⊥平面β，交線為AB，C∈α，D∈β，AB=AC=BC=4

3

，E為BC的中點，AC⊥BD，BD=8．
①求證：BD⊥平面α；
②求證：平面AED⊥平面BCD；
③求二面角B-AC-D的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定,平面與平面垂直的判定

專題：計算題,作圖題,證明題,空間位置關系與距離

分析：①取AB的中點F，連結CF，從而可證CF⊥平面β，從而推出CF⊥BD，結合AC⊥BD可證明BD⊥平面α；
②由①可知BD⊥AE，再由AE⊥BC可證明平面AED⊥平面BCD；
③取AC的中點M，連結BM，DM，則易知∠BMD為二面角B-AC-D的平面角，在Rt△DBM中求二面角B-AC-D的正切值．

解答： 解：①證明：取AB的中點F，連結CF，
又∵AB=AC=BC，
∴CF⊥AB，
又∵平面α⊥平面β，平面α∩平面β=AB；
∴CF⊥平面β，又∵BD?平面β；
∴CF⊥BD；
又∵AC⊥BD，且AC∩CF=C，
∴BD⊥平面α；
②證明：∵BD⊥平面α，又∵AE?平面α，
∴BD⊥AE，
又∵AB=AC=BC，E為BC的中點，
∴AE⊥BC，
又∵BC∩BD=B，
∴AE⊥平面BCD，
∴平面AED⊥平面BCD；
③解：取AC的中點M，連結BM，DM；
則易知∠BMD為二面角B-AC-D的平面角，
在Rt△DBM中，
BM=4

3

×sin60°=6；
BD=8，
故tan∠BMD=

BD

MB

=

8

6

=

4

3

．

點評：本題考查了學生的空間想象力與作圖、識圖能力，屬于中檔題．