Question

定義域為R的偶函數f（x）滿足對?x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且當x∈[2，3]時，f（x）=-2x²+12x-18，若函數y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,函數的零點

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：令x=-1，求出f（1），可得函數f（x）的周期為2，當x∈[2，3]時，f（x）=-2x²+12x-18，畫出圖形，根據函數y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，利用數形結合的方法進行求解．

解答： 解：∵f（x+2）=f（x）-f（1），
且f（x）是定義域為R的偶函數，
令x=-1可得f（-1+2）=f（-1）-f（1），
又f（-1）=f（1），
∴f（1）=0 則有f（x+2）=f（x），
∴f（x）是最小正周期為2的偶函數．
當x∈[2，3]時，f（x）=-2x²+12x-18=-2（x-3）²，
函數的圖象為開口向下、頂點為（3，0）的拋物線．
∵函數y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，
令g（x）=log_a（|x|+1），則f（x）的圖象和g（x）的圖象至少有3個交點．
∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，
要使函數y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，
則有g（2）＞f（2），可得 log_a（2+1）＞f（2）=-2，
即log_a3＞-2，∴3＜

1

a2

，解得-

3

3

＜a＜

3

3

，又0＜a＜1，∴0＜a＜

3

3

，
故答案為：（0，

3

3

）．

點評：此題主要考查函數奇偶性、周期性及其應用，解題的過程中用到了數形結合的方法，同時考查解決抽象函數的常用方法：賦值法，正確賦值是迅速解題的關鍵．