Question

如圖1，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上的一點(diǎn)，對(duì)角線AC分別交DE、DF于M、N兩點(diǎn)，將△DAE及△DCF折起，使A、C重合于G點(diǎn)，構(gòu)成如圖2所示的幾何體．
（Ⅰ）求證：GD⊥EF；
（Ⅱ）若EF∥平面GMN，求三棱錐G-EFD的體積V_G-EFD．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：計(jì)算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）注意到DA⊥AE，DC⊥CF，則折起后DG⊥GE，DG⊥GF，從而證明DG⊥平面EFG，從而得證；
（Ⅱ）由EF∥平面GMN可得EF∥MN，從而可知EF是△ABC的中位線，從而求三棱錐G-EFD的體積V_G-EFD．

解答： 解：（Ⅰ）證明：∵DA⊥AE，DC⊥CF，
∴DG⊥GE，DG⊥GF，
又∵GE∩GF=G，
∴DG⊥平面EFG，
∴GD⊥EF．
（Ⅱ）∵EF∥平面GMN，
∴EF∥MN，
又∵E是AB邊的中點(diǎn)，
∴F是BC邊上的中點(diǎn)，
∴GE⊥GF，
∴V_G-EFD=V_D-GEF=

1

3

×

1

2

×1×1×2=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面垂直的判定與應(yīng)用，同時(shí)考查了體積的求法，屬于中檔題．