Question

20．有一名同學家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對某種引領銷售的影響，記錄了2015年7月至12月每月15號下午14時的氣溫和當天賣出的飲料杯數，得到如下資料：

日期	7月15日	8月15日	9月15日	10月15日	11月15日	12月15日
攝氏溫度x（℃）	36	35	30	24	18	8
飲料杯數y	27	29	24	18	15	5

該同學確定的研究方案是：先從這六組數據中選取2組，用剩下的4組數據求線性回歸方程，再用被選中的2組數據進行檢驗．
（1）求選取2組數據恰好是相鄰的兩個月的概率；
（2）若選中的是8月與12月的兩組數據，根據剩下的4組數據，求出y關于x的線性回歸方程$\hat y=bx+\hat a$．
附：對于一組數據（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），其回歸直線$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$的斜率和截距的最小二乘估計分別為：$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$．

Answer 1

分析 （1）利用列舉法求出基本事件數，計算出對應的概率值；
（2）根據數據計算出$\overline{x}$、$\overline{y}$與$\stackrel{∧}$、$\stackrel{∧}{a}$，即可寫出線性回歸方程．

解答 解：（1）從這六組數據中選取2組，共有15種等可能情況，分別為
（7，8），（7，9），（7，10），（7，11），（7，12），
（8，9），（8，10），（8，11），（8，12），
（9，10），（9，11），（9，12），
（10，11），（10，12），（11，12）；
其中選取2組數據恰好是相鄰兩個月有5種情況，分別為
（7，8），（8，9），（9，10），（10，11），（11，12）；
故選取2組數據恰好是相鄰兩個月的概率為$\frac{5}{15}$=$\frac{1}{3}$；
（2）計算$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（26+30+24+18）=27，
$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（27+24+18+15）=21，
所以$\stackrel{∧}$=$\frac{（26-27）（27-21）+…+（18-27）（15-21）}{{（26-27）}^{2}+…{+（18-21）}^{2}}$≈0.7，
$\stackrel{∧}{a}$=21-0.7×27=2.1；
所以y關于x的線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=0.7x+2.1．

點評 本題考查了用列舉法求古典概型的概率問題，也考查了求線性回歸方程的問題，是基礎題目．