Question

若

1

2

（tanx+sinx）-

1

2

|tanx-sinx|-k≥0在x∈[

3π

4

，

5

4

π]恒成立，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：由x∈[

3π

4

，

5π

4

]，得cosx＜0．當x∈[

3π

4

，π）時，sinx＞0，推導出k≤tanx，從而得到k≤-1；當x∈[π，

5π

4

]，時，推導出k≤sinx，從而得到k≤-

2

2

．由此能求出k的取值范圍．

解答： 解：∵tanx-sinx=sinx（

1

cosx

-1），x∈[

3π

4

，

5π

4

]，
∴cosx＜0，
①當x∈[

3π

4

，π）時，sinx＞0，
∴tanx-sinx=sinx（

1

cosx

-1）＜0，
∴

1

2

（tanx+sinx）-

1

2

|tanx-sinx|-k=tanx-k≥0，
∴k≤tanx，
∵x∈[

3π

4

，π），
∴tanx的最小值為tan

3π

4

=-1，
∴k≤-1．
②當x∈[π，

5π

4

]時，sinx≤0，
∴tanx-sinx=sinx（

1

cosx

-1）＞0，
∴

1

2

（tanx+sinx）-

1

2

|tanx-sinx|-k=sinx-k≥0，
∴k≤sinx，
∵x∈[π，

5

4

π），
∴sinx的最小值為sin

5π

4

=-

2

2

，
∴k≤-

2

2

．
綜上所述，k≤-1．
∴k的取值范圍是（-∞，-1]．
故答案為：（-∞，-1]．

點評：本題考查實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意三角函數性質的合理運用．