已知數(shù)列{an}中,a1=
12
,且前n項(xiàng)和為Sn滿足Sn=n2an,(n∈N*)
(1)求a2,a3,a4的值,并歸納出an的通項(xiàng)公式;
(2)由(1)問結(jié)論,用反證法證明不等式:an>an+1
分析:(1)由Sn=n2an,a1=
1
2
,分別令n等于2,3,4,即可得到數(shù)列的前4項(xiàng),由此歸納出{an}的通項(xiàng)公式.
(2)假設(shè)an≤an+1,則由{an}的通項(xiàng)公式
1
n(n+1)
1
(n+1)(n+2)
,即
1
n
1
n+2
,即n+2≤n,即2≤0矛盾,從而證得an>an+1 成立.
解答:解:(1)由Sn=n2an,a1=
1
2
得:
當(dāng)n=2時(shí),S2=4a2,即a1+a2=4a2,∴a2=
1
6

當(dāng)n=3時(shí),S3=9a3,即a1+a2+a3=9a3a3=
1
12

當(dāng)n=4時(shí),S4=16a4,即a1+a2+a3+a4=16a4,a4=
1
20

歸納出:an=
1
n(n+1)
(n∈N*)

(2)假設(shè)an≤an+1,則有
1
n(n+1)
1
(n+1)(n+2)
,即
1
n
1
n+2
,
由此解得 n+2≤n,即2≤0,矛盾.
∴假設(shè)不成立,故 an>an+1成立,不等式得證.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查用數(shù)列的遞推式求數(shù)列的前幾項(xiàng),用反證法和放縮法證明數(shù)學(xué)命題,掌握好放縮的程度,是解題的難點(diǎn),屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)
,則
lim
n→∞
an
=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=
an
1+2an
,則{an}的通項(xiàng)公式an=
1
2n-1
1
2n-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{
2n
an
}
的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=
1
2
Sn
為數(shù)列的前n項(xiàng)和,且Sn
1
an
的一個(gè)等比中項(xiàng)為n(n∈N*
),則
lim
n→∞
Sn
=
1
1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為( 。
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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