Question

已知將函數(shù)y=cos²-sin²+2sincos的圖象上所有點向左平移個單位，再把所得的圖象上所有點得橫坐標變?yōu)樵瓉淼?img class='latex' alt='數(shù)學公式' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png' />倍（縱坐標不變），得到函數(shù)f（x）的圖象．
（I）求函數(shù)f（x）的表達式及f（x）的最小正周期；
（II）求f（x）的單調遞減區(qū)間及f（x）在區(qū)間[0，]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（I）由三角函數(shù)的運算公式可得：y=cos²-sin²+2sincos
=cosx+sinx=2（cosxsinx）=2sin（x+），
由圖象變換的知識可得將上述函數(shù)圖象向左平移個單位，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png' />倍（縱坐標不變），
所得函數(shù)為：f（x）=2sin（2x），故其周期為：T==π；
（II）由2kπ2kπ+，得f（x）=2sin（2x）的遞減區(qū)間為：
[kπ+，kπ+]（k∈Z），又∵x∈[0，]，∴2x∈[，]，
∴sin（2x）∈[，1]，
所以當x=時，f（x）取得最小值，當x=時，f（x）取得最大值2
分析：（I）由三角函數(shù)的運算公式可得：y=2sin（x+），由圖象變換的知識可得f（x）=2sin（2x），進而可得周期；
（II）由整體法可得函數(shù)的單調區(qū)間，進而可得函數(shù)在區(qū)間[0，]的最值．
點評：本題考查三角函數(shù)的運算和圖象變換，涉及區(qū)間最值的求解，屬中檔題．