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已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，分別是的中點.

（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值.

(1)證明過程詳見解析；（2）.

解析試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景，考查線面平行的判定和二面角的求法，可以運用傳統(tǒng)幾何法，也可以用空間向量方法求解，突出考查空間想象能力和計算能力.第一問，利用線面平行的判定定理，先找出面內的一條線，利用平行四邊形證明，從而證明線面平行；第二問，用向量法解題，先建立直角坐標系，求出2個平面的法向量，再求夾角.
試題解析： (1)證明：取的中點，連結.
∴，且，
又，∴.
又是的中點，且，
∴，∴四邊形是平行四邊形．
∴.
又平面，平面.
∴平面.(6分)
(2)解：以為原點，如圖建立直角坐標系，則，，，，，，．

設平面的法向量為，，．
則可得，令，則．
易得平面的法向量可為，
；
如圖，易知二面角的余弦值等于，即為. （12分）
考點：1.線面平行的判定定理；2.向量法求二面角.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖,四邊形ABCD為平行四邊形，四邊形ADEF是正方形，且BD⊥平面CDE，H是BE的中點,G是AE,DF的交點.

（1）求證:GH∥平面CDE；
（2）求證:面ADEF⊥面ABCD.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中，是正三角形，四邊形是矩形，且平面平面，，．

(Ⅰ)若點是的中點，求證：平面；
（II）試問點在線段上什么位置時，二面角的余弦值為.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中，四邊形為矩形，為等腰三角形，，平面 平面，且，分別為和的中點．

（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）證明：平面平面；
（Ⅲ）求四棱錐的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側棱底面ABCD，，E是PC的中點．

（Ⅰ）證明 平面EDB；
（Ⅱ）求EB與底面ABCD所成的角的正切值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐A-BCDE中，側面∆ADE是等邊三角形，底面BCDE是等腰梯形，且CD∥BE,DE=2，CD=4, ,M是DE的中點，F是AC的中點，且AC=4，

求證：（1）平面ADE⊥平面BCD;
(2)FB∥平面ADE.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面是直角梯形，，，和是兩個邊長為的正三角形，，為的中點，為的中點．

(Ⅰ)求證：平面；
(Ⅱ)求證：平面；
(Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，側面底面,,為中點，底面是直角梯形，,，,．

(1) 求證：平面；
(2) 求證：平面平面；
(3) 設為棱上一點，,試確定的值使得二面角為．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖已知：菱形所在平面與直角梯形ABCD所在平面互相垂直，，點分別是線段的中點. 

(1)求證：平面平面;
(2)試問在線段上是否存在點，使得平面,若存在,求的長并證明；若不存在，說明理由.

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